Logaritmlagarna
Detta avsnitt ingår i matematik 2b och matematik 2c.
Som vi såg i avsnittet om tiologaritmer så är logaritmer väldigt viktiga för att kunna lösa exponentialekvationer, det vill säga ekvationer med x i exponenten.
Det finns ett gäng logaritmlagar som kan vara bra att komma ihåg som förenklar ens tillvaro när vi ska lösa exponentialekvationer.
Det finns tre stycken logaritmlagar som vi kan härleda utifrån potenslagarna och definitionen för tiologaritmer. Här nedan presenterar vi logaritmlagarna och deras härledning.
Första logaritmlagen
Första logaritmlagen talar om vad som händer vid multiplikation. Med andra ord vad
$$\lg(x \cdot y)$$
är?
Vi börjar med att skriva om talen x och y som potenser med basen 10
$$x=10^{\lg(x)}$$
$$y=10^{\lg(y)}$$
Och använder detta till att skriva om uttrycket ovan
$$\lg(x\cdot y)=\lg\left(10^{\lg(x)}\cdot 10^{\lg(y)}\right)$$
Med hjälp av potenslagen för multiplikation av potenser med samma bas
$$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$$
Så kan vi skriva om uttrycket till
$$\lg\left(10^{\lg(x)}\cdot 10^{\lg(y)}\right)=\lg\left(10^{\lg(x)+\lg(y)}\right)$$
Och med hjälp av definitionen för tiologaritmen så skriver vi sedan om detta
Logaritmräknare
Beräkna logaritmen för ett tal till valfri bas:
* Använd e för vetenskaplig notation. Exempel: 5e3, 4e-8, e12
När:
b y = x
Då bas b logaritmen för ett tal x:
logga b x = y
Logaritmbyte av basräknare
Anti-logaritm-kalkylator
För att beräkna logg -1 (y) på miniräknaren, ange basen b (10 är standardvärdet, ange e för e-konstanten), ange logaritmvärdet y och tryck på = eller beräkna- knappen:
När
y = log b x
Anti-logaritmen (eller invers logaritmen) beräknas genom att höja basen b till logaritmen y:
x = log b -1 ( y ) = b y
Logaritmregler
Logaritmproduktregel
log b ( x × y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmkvotientregel
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmens kraftregel
log b ( x y ) = y ×log b ( x )
Logaritm-basomkopplarregel
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmändring av basregeln
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritm - logg (x) ►
Se även
I Matematik A, eller kanske redan tidigare än så, lär man sig att lösa potensekvationer, dvs. ekvationer på formen
\( x^a = b \ .\)
Men om man har en ekvation, säg
\( 24^x = ,\)
hur bär man sig åt att lösa denna ekvation? Det är nu logaritmer kommer till undsättning.
Definition
Logaritmen är definerad att logaritmen av ett tal, \( b\), är den exponent, \( x\) man måste upphöja basen \( a\) för att få \( b\).Ett ekvivalent sätt att uttrycka definitionen på är
\( a^x = b \ \Leftrightarrow \ x = \log_{a}(b) \ .\)
Tiologaritmen, baser och notation
Tiologaritmen är ett namn på logaritmen som använder basen 10 och är ofta praktisk att använda. Den används för att beräkna pH-värden i kemin och för att beräkna ljudnivå i form av decibel. Tiologaritmen brukar skrivas som
\( \log_{10}(b),\ \log(b),\ \lg(b) \ .\)
På samma sätt kan man använda logaritmen med basen 2, men den används inte i lika stor utsträckning som tiologaritmen och naturliga logaritmen (med basen e). Tvålogaritmen brukar skrivas
\( \log_{2}(b),\ \mathrm{lb}(b) \ .\)
Det kan vara värt att veta att den naturliga logaritmen använder basen e och att den brukar skrivas
\( \log_e(b),\ \ln(b) \ .\)
Det kan
Logaritmregler
Den bas B logaritmen av ett antal är exponent att vi måste höja basen för att få numret.
Logaritmedefinition
När b höjs till effekten av y är lika med x:
b y = x
Då är basb logaritmen för x lika med y:
log b ( x ) = y
Till exempel när:
2 4 = 16
Sedan
log 2 (16) = 4
Logaritm som invers funktion av exponentiell funktion
Den logaritmiska funktionen,
y = log b ( x )
är den inversa funktionen hos den exponentiella funktionen,
x = b y
Så om vi beräknar den exponentiella funktionen för logaritmen av x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Eller om vi beräknar logaritmen för den exponentiella funktionen av x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Naturlig logaritm (ln)
Naturlig logaritm är en logaritm till basen e:
ln ( x ) = log e ( x )
När e-konstanten är antalet:
eller
Se: Naturlig logaritm
Invers logaritmberäkning
Den inversa logaritmen (eller antilogaritmen) beräknas genom att höja basen b till logaritmen y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritmisk funktion
Den logaritmiska funktionen har den grundläggande formen av:
f ( x )
.